Exercices types : applications linéaires

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Contenu du cours

Exercice 1

Soit $f$  l'application de $\mathbb{R}^{3} \textrm{ dans } \mathbb{R}^{2}$ définie par $f(x,y,z) = (x^{2} + 1, 2x + 3y + z)$.

L'application $f$ est-elle linéaire ?

Exercice 2

On note $C(\mathbb{R})$  l'ensemble des fonctions continues sur $\mathbb{R}$. Soit    $\varphi$ l'application :

$\begin{array}{lllll}  \varphi & : & C(\mathbb{R})  & \rightarrow & \mathbb{R}\\ &  & f &  \mapsto & \displaystyle \int_{-2}^{1}f(t)dt \end{array}$.

Montrer que $\varphi$ est une application linéaire.

Exercice 3

On note $\mathbb{R}_{2}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $2$. Soit $\varphi$ l'application définie sur $\mathbb{R}_{2}[X]$ par $\varphi(P) = P'' - P$.

L'application  $\varphi$  est-elle un endomorphisme de $\mathbb{R}_{2}[X]$  ?